Cauchy 不等式

Cauchy 不等式

Thu Jul 25 2024
1 分钟

Cauchy 不等式#

Cauchy 不等式,中文一般译为柯西不等式。只要学过不等式的应该都很熟悉,它最常见的形式(二维形式)长这样:

(a2+b2)(c2+b2)(ac+bd)2(a^2+b^2)(c^2+b^2)\ge(ac+bd)^2

当然它不仅仅有二维形式,一般形式则是这样:

i=1nai2j=1nbj2(i=1naibi)2,(nN+)\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2\ge\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\right)^2,(n\in\mathbb N^+)

在高中范围的不等式题目中,利用 Cauchy 可以消去未知项得到常数项,也就是求最大、最小值。两侧内容可以通过柯西反号来变换。

Cauchy 不等式的证明#