圆锥曲线魔法-1

前言#

这只是博主对自己最近学习的一些内容的整理喵（不能算是笔记吧？），仅作分享交流用，一起加油！

老师曾说，圆锥曲线，只要你有强大的计算能力，那就行了。可是，仅仅有这显然是不行的。诚然，圆锥曲线这种死题目只要嗯算便可，但是你总不能一道题目死磕个五六十分钟吧？所以掌握一些方法是很必要的！刚好老师讲了一些奇技淫巧，赶忙记录一下。

因为博主太烂懒得打数学公式了，所以很多题解都用图片展示了唔。

非对称韦达定理#

众所周知，圆锥曲线最常见的题型就是联立方程组得到韦达定理，再通过几何关系利用韦达定理解决问题。但是有的时候几何关系化简后尴尬了，居然没有对称的韦达定理表达式？只留下单个的根，这怎么办呢？

例题一#

求证有过椭圆的焦点$F(1,0)$交椭圆$\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$于$M$、$N$，有$A$、$B$为左右顶点，设$MA$、$NB$有斜率$k_{1}$、$k_{2}$，有$\frac{k_{1}}{k_{2}}$为定值。

提示：反设直线得韦达定理求解。

例题二#

已知$C:y^2=4x$、$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$分别在一、四象限，且$x_1x_2+y_1y_2=\frac{9}{4}$，求$\Delta A B O$和$\Delta A F O$面积的和的最小值。

提示：反设直线得韦达定理+主元法用基本不等式。

这道题目我自己有点奇怪，因为我做的时候没有遇到不良结构的问题，用基本不等式就直接拿出来了。所以我这个方法和非对称韦达定理的关系不大，可能是我自己使用的方法避免了这个问题，只是连我自己也不明白我是怎么做到的。

题解#

同构法 + 齐次化#

我总想用几句话概括这六个字的精髓，发现太难了。同构法不就是找结构相似的多项式吗？说说简单，但是要能找到确切有用的很难，换句话说，你应该明白自己需要什么，再去同构。这几句话就概括不来了。

齐次化相信我不用多说了。不过我觉得例题二的方法应该没几个人见过，如此巧妙的构思——不仅仅是变形，直线的设法也很有讲究——还真不是随随便便能想得到的。答案放出来一看很少很简单，自己上手做做可就不同了。

例题一#

已知$C:y^2=4x$，过焦点$F$的直线$AB$交$C$于$A$、$B$，其中$A$在$y$轴左侧且$k_{AB}>0$。现$P(1,0)$连结$A$、$B$交$C$与$E$、$F$两点，问是否存在$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{EF}$?

提示：通过相似三角形建立同构。

下面我有一个向量写错了，以我文本打的为准！

还有小题一嘴，这个题目我刚开始自己做傻了吧唧用两点式算了半天结果算出了 lambda 和斜率的关系，绷不住了。没想到最后斜率算出来带进去倒是对的，只是那个时候已经过去一节自修课了……

例题二#

已知$A(2,1)$在$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1$上，$l$交$C$于$P$、$Q$，有直线$AP$、$AQ$的斜率之和为$0$，求$l$的斜率。

提示：修改原椭圆方程迎合所求。

此题最通用的方法就是死算，这里提供的题解算是另辟蹊径了（奇技淫巧）。